Solutions to algebra-III





                       In this page, 'Solutions to algebra-III' we are discussing how to do the problems given in problems on algebra-III.

Solutions to algebra-III

1.       Find the remainder using remainder theorem, when

         (i)      3x³ + 4x² 5x +8 is divided by x-1.

         Solution:  

                  Let p(x) = 3x³ + 4x² 5x +8.  The zero of x-1 is 1.

           When p(x) is divided by x-1, the remainder is p(1).

                             p(1)  =  3(1)³ + 4(1)² 5(1) +8

                                     =    3      +  4    -5   + 8   

                              =        10

          The remainder is 10.


           (ii)        5x³ + 2x² - 6x +12 is divided by x+2.

            Solution:

               Let  p(x)  =  5x³ + 2x² - 6x +12.  The zero of x+2 is -2.

                When p(x) is divided by x+2, the remainder is p(-2).

                           p(-2)  =   5(-2)³ + 2(-2)² - 6(-2) +12

                                     =     5(-8)  +2(4) +12 + 12

                                     =       -40  + 8  + 12 + 12

                                     =        -8

                   The remainder is -8.


           (iii)        2x³ - 4x² + 7x +6 is divided by x-2.

            Solution:

                   Let p(x) =     2x³ - 4x² + 7x +6. The zero of x-2 is 2.

                        When p(x) is divided by x-2, the remainder is p(2).

                               p(2)   =      2(2)³ - 4(2)² + 7(2) +6

                                        =       2(8)  - 4(4)  + 14 +6

                                        =         16  -  16    +14  +6

                                        =             20.

                        The remainder is 20.


           (iv)        4x³ -3x² + 2x -4 is divided by x+3

             Solution:

                    Let p(x)   =   4x³ -3x² + 2x -4, The zero of x+3 is -3.

                         When p(x) is divided by x+3, the remainder is p(-3).

                                p(-3)    =    4(-3)³ -3(-3)² + 2(-3) -4

                                            =    4(-27)-3(9) -6 -4

                                            =     -108 -27 -6-4

                                            =         -145.

                            The remainder is -145.


            (v)        4x³ - 12x² +11x -5 is divided by 2x-1   

                     Solution:

                       Let p(x)  =   4x³ - 12x² +11x -5.  The zero of 2x-1 is 1/2.

                             When p(x) is divided by 2x-1, the remainder is p(1/2).

                                  p(1/2)  =     4(1/2)³ - 12(1/2)² +11(1/2) -5

                                              =      4(1/8) -12(1/4)  + 11/2 -5.

                                              =        -2.

                            The remainder is -2.


            (vi)       8x  + 12x³ -2x² - 18x +14 is divided by x+1

                      Solution:

                        Let p(x)  =   8x  + 12x³ -2x² - 18x +14 . 

                        The zero of x+1 is -1.

                        When p(x) is divided by x+1, the remainder is p(-1).

                              p(-1) =  8(-1)  + 12(-1)³ -2(-1)² - 18(-1) +14 

                                                =    8(1)   +  12(-1) -2(1) -18(-1) +14

                                                =      8  -12 -2 +18 +14

                                                =          26

                         The remainder is 26.


  .         (vii)       x³   -  ax²  - 5x  +2a is divided by x-a.

                        Solution:

                          Let p(x) =    x³   -  ax²  - 5x  +2a. The zero of x-a is a.

                               When p(x) is divided by x-a, the remainder is a.

                                       p(a)  =     (a)³   -  a(a)²  - 5(a)  +2a

                                                =      a³  - a³ -5a  +2a

                                           =           -3a

                                 The remainder is -3a. 


2.         When the polynomial 2x³ - ax² + 9x -8 is divided by x-3 the remainder is 28.   Find the value of a.

                         Solution:

                                  Let p(x) = 2x³ - ax² + 9x -8.

                           When p(x) is divided by x-3, the remainder is p(3).

                           Given that p(3) = 28.

                           This implies that 2(3)³ - a(3)² + 9(3) -8.  =  28

                                                      2 (27)-a(9) +27-8         = 28

                                                        54   -9a  +19              = 28

                                                               73-9a                  = 28

                                                               73-28                  =  9a    

                                                                    45                  =  9a 

                                                                      a                  =   5

            

3.         Find the value of m if x³ - 6x² +mx + 60 leaves the remainder 2 when divided by (x+2).

                       Solution:

                       Let p(x) = x³ - 6x² +mx + 60

                       When p(x) is divided by (x+2) the remainder is p(-2).

                                 Given that p(-2)    = 2

                         This implies that (-2)³ - 6(-2)² +m(-2) + 60  = 2

                                                     -8   -6(4) -2m +60            = 2

                                                      -8  -24   -2m  +60           = 2

                                                                 28-2m                 =  2 

                                                                 28-2                    =  2m

                                                                   26                     =  2m

                                              ∴                    m                    =   13

4.         If (x-1) divides mx³ -2x² + 25x - 26 without remainder find the value of m.

                      Solution:

                         Let p(x)  =   mx³ -2x² + 25x - 26

                      When p(x) is divided by (x-1), the remainder is p(1).

                               Given that p(1) = 0

                      This implies that m(1)³ -2(1)² + 25(1) - 26      =  0

                                                    m  - 2  +  25 -26               =   0

                                                             m-3                         =   0

                                                                    m                     =   3


5.         If the polynomials x³ + 3x² -m and 2x³ -mx + 9 leave the same remainder when they are divided by (x-2), find the value of m. Also find the remainder.

                  Solution:

                          Let p(x)  =  x³ + 3x² -m,

                                       q(x)   =   2x³ -mx + 9

                       When p(x) is divided by (x-2) the remainder is p(2). Now,

                                       p(2)   =   2³ + 3(2)² -m

                                                 =   8  +  12 - m   

                                                 =      20 - m       ---------------------(1)

                      When q(x) is divided by (x-2) the remainder is q(2).  Now,

                                      q(2)    =    2(2)³ -m(2) + 9

                                                =      16  - 2m  + 9

                                                =         25-2m   ------------------------(2)

                     Given that p(2)   =      q(2).  That is 

                                20 - m      =          25 - 2m    by (1) and (2)

                                 2m - m    =          25 - 20

                                         m    =             5. 

                     Substituting     m = 5 in p(2) we get the remainder.

                                                =  20 -5 = 15. 

                      The remainder is 15.


               Students can solve the problems on their own, compare the answer with the solutions discussed above in'Solutions to algebra-III'. If you are having any doubt you can contact us through mail, we will help you to clear your doubts.






                                            Algebra

                                           Home