PRACTICE PROBLEMS USING DE MOIVRES THEOREM

Practice Problems Using De Moivres Theorem :

Here we are going to see some example problems using De Moivres theorem.

Practice Problems Using De Moivres Theorem - Questions

Question 1 :

If 2 cos α  =  x + (1/x) and 2 cos β  =  y + (1/y), show that 

(i)  (x/y) + (y/x)  =  2 cos (α - β)

(ii)   xy - (1/xy)  =  2i sin (α + β)

(iii)  (x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)  =  2i sin (mα - nβ)

(iv)  (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)   =  2 cos (mα + nβ)

Solution :

2 cos α  =  x + (1/x) 

x² + 1  =  (2 cos α) x

x² - (2 cos α) x + 1  =  0

Solving for x, we get

  =  [-b + √(b² - 4ac)] / 2a

  =  [(2 cos α) + √((2 cos α)² - 4(1)] / 2(1)

  =  [(2 cos α) + √-4 (1 - cos²α) / 2

  =  (2 cos α + i 2 sin α) / 2

x  =  cos α + i sin α

2 cos β  =  y + (1/y)

y² + 1  =  (2 cos β) y

y² - (2 cos β) y + 1  =  0

Solving for y, we get

  =  [-b + √(b² - 4ac)] / 2a

  =  [(2 cos β) + √((2 cos β)² - 4(1)] / 2(1)

  =  [(2 cos β) + √-4 (1 - cos²β) / 2

  =  (2 cos β + i 2 sin β) / 2

y  =  cos β + i sin β

(i)  (x/y) + (y/x)  =  2 cos (α - β)

xy^-1  =  (cos α + i sin α)(cos (-β) + i sin (-β))

(x/y)  =  cos (α - β) + i sin (α - β)  

(y/x)  =  cos (α - β) - i sin (α - β)

By adding, we get 

 (x/y) + (y/x)   =  2 cos (α - β)

(ii)   xy - (1/xy)  =  2i sin (α + β)

xy  =  (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

  =  cos (α + β) + i sin (α + β)  

1/xy  =  =  cos (α + β) - i sin (α + β)  

xy - (1/xy) 

  =  [cos (α + β) + i sin (α + β)] - [cos (α + β) - i sin (α + β)]

  =  -2i sin (α + β)

(iii)  (x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)  =  2i sin (mα - nβ)

x  =  cos α + i sin α

x^m  =  (cos α + i sin α)^m

x^m  =  (cos mα + i sin mα)

y  =  cos β + i sin β

yⁿ  =  (cos β + i sin β)ⁿ

yⁿ  =  (cos nβ + i sin nβ)

(x^m/yⁿ)  =  cos (mα - nβ) + i sin (mα - nβ)

(yⁿ/x^m)  =  cos (mα - nβ) - i sin (mα - nβ)

(x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)   =  -2i sin (mα - nβ)

(iv)  (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)   =  2 cos (mα + nβ)

x^m  =  (cos mα + i sin mα)

yⁿ  =  (cos nβ + i sin nβ)

x^myⁿ  =  cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ) 

1/(x^myⁿ)  =  cos (mα + nβ) - i sin (mα + nβ) 

 (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)  =  2cos (mα + nβ)

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood, "Practice Problems Using De Moivres Theorem". 

Apart from the stuff given in this section "Practice Problems Using De Moivres Theorem", if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

Kindly mail your feedback to v4formath@gmail.com

We always appreciate your feedback.